Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12626

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.


A.
VS.BCNM = 5a3√3; d(AB,SN) = \frac{2a\sqrt{39}}{13}.
B.
VS.BCNM = a3√3; d(AB,SN) = \frac{3a\sqrt{39}}{13}.
C.
VS.BCNM = a3√3; d(AB,SN) = \frac{2a\sqrt{39}}{13}.
D.
VS.BCNM = 3a3√3; d(AB,SN) = \frac{2a\sqrt{39}}{13}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết: (SAB) ⊥(ABC) và (SAC) ⊥(ABC) =>SA⊥(ABC) và ((SBC),(ABC)) = \widehat{ SBA}= 600.

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N thì MN//BC và N là trung điểm của AC.

a.Tính thể tích khối chóp S.BCNM : Ta có : VS.BCNM = \frac{1}{3}SBCNM.SA   (1)

Trong đó : SA = AB.tan\widehat{ SBA} = 2a.tan600 = 2a√3.   (2)

SBCNM = \frac{1}{2}(MN + BC)MB = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}BC + BC).\frac{1}{2}AB = \frac{3}{8}AB2 = \frac{3}{8}(2a)2 = \frac{3a^{2}}{2} (3)

Từ đó, bằng cách thay (2), (3) vào (1) ta được : VS.BCNM = \frac{1}{3}.\frac{3a^{2}}{2}.2a√3 = a3√3.

b.Tính khoảng cách giữa  AB và SN : Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng (d) qua N và song song với AB và hạ AD vuông góc với (d) (D∈(d)), từ đó suy ra : AB//(SND) =>d(AB,SN) = d(AB,(SND)) = d(A,(SND)) = AH  trong đó H là hình chiếu vuông góc của A trên SD.

Trong  ∆SAD, ta có: \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AD^{2}} + \frac{1}{SA^{2}}= \frac{1}{MN^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} ⇔AH = \frac{SA.MN}{\sqrt{SA^{2}+MN^{2}}}= \frac{2a\sqrt{3}.a}{\sqrt{(2a\sqrt{3})^{2}+a^{2}}} = \frac{2a\sqrt{39}}{13}.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết