Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12629

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC), SB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α. b. Hãy tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC),

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC), SB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α. b. Hãy tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.


A.
a. VS.ABC = \frac{a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
B.
a. VS.ABC = \frac{7a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
C.
a. VS.ABC = \frac{a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{5}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
D.
a. VS.ABC = \frac{5a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

a.Ta có: VS.ABC = \frac{1}{3}S∆ABC.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.BC.SA = \frac{1}{6}AB2.SA.  (1)

Nhận xét tằng : BC⊥AB, BC⊥SA=>BC⊥(SAB) =>BC⊥SB

=>g((SBC),(ABC)) = \widehat{ SBA}= α

Trong  ∆SAB vuông tại A, ta có: AB = SB.cos\widehat{ SBA} = a.cosα.  (2)

                                                      SA = SB.sin\widehat{ SBA} = a.sinα.     (3)

Thay (2), (3)  vào (1) ta được : VS.ABC = \frac{1}{6}a2.cos2α.a.sinα = \frac{a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt).

b.Xét hàm số y = cos2α.sinα trên khoảng (0; \frac{\pi }{2}),

ta có : y’ = -2cosα.sinα.sinα + cos2α.cosα = (3cos2α – 2)cosα.  

y’ = 0⇔(3cos2α – 2)cosα = 0  (α∈(0; \frac{\pi }{2}) ⇔cosα = \sqrt{\frac{2}{3}}

Bảng biến thiên :

Vậy, ta có (VS.ABC)Max = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{27} đạt được khi cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết