Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5737

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng:                                   R ≥ \frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng:                                   R ≥ \frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}


A.
Tính R theo a, b , c Sao đó sử dụng bất đẳng thức Co-si
B.
Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copski
C.
Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng tính đúng của bất đẳng thức (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0.
D.
Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng Co-si và Bunhia-copski
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính R theo a,b,c:

Cách 1:

    Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do tam giác SAB vuông tại S và SC ⊥ (SAB) nên trục của tam giác SAB là đường thẳng đi qua trung điểm H của AB và song song với SC. Gọi K là trung điểm của SC. Do O thuộc mặt phẳng trung trực của SC nên OK ⊥ SC.

Ta có OHSK là hình chữ nhật nên: SO^{2}= SH^{2}+SK^{2}

=>R^{2}=\frac{SA^{2}+SB^{2}}{4}+\frac{SC^{2}}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

                       R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}

                         

Cách 2. Dựng hình hộp SAMB.CDEF. Dễ thấy hình hộp vừa dựng là hình hộp chữ nhật. Gọi O là tâm của hình hộp trên. Do O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do đó:

 R=\frac{1}{2}SE=\frac{1}{2}\sqrt{SA^{2}+SB^{2}+SC^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}

                      

Cách 3: (Phương pháp vectơ)

Đặt  \vec{SA}=\vec{u}, \vec{SB}=\vec{v}, \vec{SC}=\vec{w}

Ta có:\left\{\begin{matrix} |\vec{u}|=a, \vec{v}=b, \vec{w}=c\\ \vec{u}.\vec{v} =\vec{v}.\vec{w}=\vec{w}.\vec{u}=0 \end{matrix}\right.

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Giả sử:

         \vec{SO}=x.\vec{u}+y.\vec{v}+z.\vec{c}=> R2 = \overrightarrow{SO}^{2}  = x2a2 +   y2b2 + z2c2(1)

Ta có: \vec{OA}= \vec{SA}-\vec{SO}=(1-x).\vec{u}-y.\vec{v}-z\vec{w}

=> R^{2}=\vec{OA}^{2}=(1-x)^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}+z^{2}c^{2}      (2)

Từ (1) và (2) suy ra x^{2}=(1-x)^{2}<=>x=\frac{1}{2 }

Chứng minh tương tự ta có: y = z = \frac{1}{2 }. Thay vào (1) ta có: 

                        R^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})

Vậy R= SO =\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}

Chứng minh :     R=\frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}. Điều cần chứng minh tương đương với:

             \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{12}<=>3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2

Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức tương đương:

      2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac – 2ca ≥ 0

       <=>  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0.

Bất đẳng thức (1)  đúng và ta có điều phải chứng minh.

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết