Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 56870

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a .

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a .


A.
\frac{5a^{3}\sqrt{2}}{6}
B.
\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{6}
C.
\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
D.
\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi O là giao điểm của AC và BD => SO ⊥ (ABCD)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD ; G là trọng tâm ∆SAC .

Ta có SJ ⊥ CD ; IJ ⊥ CD => CD ⊥ (SIJ)

Góc SIJ < 900 => Góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy ( ABCD ) là góc SJI

=> góc SJI = 600

Ta thấy A, G, M thuộc (P); A, G, M thuộc (SAC) => A,G,M thẳng hàng và M là trung điểm của SC

G là trọng tâm ∆SAC . => ; SO là trung tuyến tam giác SBD => G cũng là trọng tâm tam giác SBD

Lập luận tượng tự ta cũng có => B,G, N thẳng hàng và N là trung điểm của SD .

Gọi K là trung điểm của MN => K cũng là trung điểm của SJ .

∆SJI đều cạnh a ;G cũng là trọng tâm ∆SJI nên IK ⊥ SJ ;

Dễ thấy SJ ⊥ MN nên SJ ⊥ (ABMN)

Thể tích khối chóp S.ABMN là : V = \frac{1}{3}SK.SABMN

∆SJI đều cạnh = > IK = \frac{\sqrt{3}a}{2}; SK = \frac{a}{2}

SABMN  = \frac{1}{2}(AB + MN)IK = \frac{1}{2}(a + \frac{a}{2})\frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8} => V = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8} 

= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết