Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 296

Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.


A.
M(1+√2; 1+√2), M(1-√2; 1-√2)
B.
M(1+√2; 1-√2), M(1-√2; 1+√2)
C.
M(1+√3; 1+√3), M(1-√3; 1-√3)
D.
M(1+√3; 1-√3), M(1-√3; 1+√3)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

a) Học sinh tự giải.

b) Giả sử M\left(x_{0};\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}\right) ∈ (C).

Khi đó, khoảng cách từ M đến ∆1: 2x + y - 4 = 0 là \frac{\left|2x_{0}+\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}-4\right|}{\sqrt{5}}

= \frac{\left|2x_{0}+\frac{2}{x_{0}-1}-3\right|}{\sqrt{5}} ; khoảng cách từ M đến ∆2: x + 2y – 2 = 0 là \frac{\left|x_{0}+2\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}-2\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|}{\sqrt{5}}.

Suy ra tổng khoảng cách là d = \frac{\left|2x_{0}+\frac{2}{x_{0}-1}-3\right|}{\sqrt{5}}+\frac{\left|x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|}{\sqrt{5}}

= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left|2x_{0}+\frac{2}{x_{0}-1}-3\right|+\left|x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|\right)                               \geq \frac{1}{\sqrt{5}}\left|2x_{0}+\frac{2}{x^{_{0}}-1}-3+x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|

= \frac{3}{\sqrt{5}}\left|x_{0}-1+\frac{2}{x_{0}-1}\right|          (1)

= \frac{3}{\sqrt{5}}\left(\left|x_{0}-1\right|+\left|\frac{2}{x_{0}-1}\right|\right)

= \frac{3}{\sqrt{5}}\left(\left|x_{0}-1\right|+\frac{2}{\left|x_{0}-1\right|}\right) \geq \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.          (2)

Dấu đẳng thức xảy ra ở (2) ⇔ \left|x_{0}-1\right|^{2} = 2 ⇔ \begin{bmatrix}x_{0}=1+\sqrt{2}\\x_{0}=1-\sqrt{2}\end{bmatrix}.

Khi đó (1) xảy ra dấu đẳng thức nên dmin = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{5}} khi và chỉ khi x0 = 1 ± √2.

Từ đó ta suy ra điểm M thỏa mãn bài ra là M(1+√2; 1+√2), M(1-√2; 1-√2).

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến và phâ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến và phân giác trong kẻ từ cùng một đỉnh B có phương trình lần lượt là  d1: 2x + y - 3 = 0, d2: x  + y - 2 = 0. Điểm M(2;1) thuộc đường thẳng AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng √5. Biết đỉnh A có hoành độ dương, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết