Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16004

Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh: small frac{1}{a}+frac{a}{b}+ab^{2}geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}

Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh: small frac{1}{a}+frac{a}{b}+ab^{2}geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}


A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: small frac{1}{a}+frac{a}{b}+ab^{2}geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}

⇔ small frac{1}{a}+a(frac{1}{b}+b^{2})geq sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})}

Bình phương hai vế ta được:

small frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}})geq b^{2}+3-frac{2}{b}         (1)

Ta có: small (b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}})geq b+b+frac{1}{b^{2}}-3geq 0

Áp dung BĐT Coossi ta có:

 small frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}})geq 2sqrt{b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}}}

Mặt khác: small 2sqrt{b^{4}+2b-3+frac{1}{b^{2}}}geq b^{2}+3-frac{2}{b^{2}}

<=>small b(b^{2}-1)^{2}+4(b-1)^{2}geq 0                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểu phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi: a=b=1

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết