Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Kết hợp (x + y)3 + 4xy ≥ 2 với (x + y)2 ≥ 4xy suy ra: (x + y)3 + (x + y)2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1
A = 3(x4 + y4 + x2 y2) − 2(x2 + y2 ) + 1 = 
(x2 + y2)2 + (x4 + y4) − 2(x2 + y2) + 1 ≥ (x2 + y 2)2 + 
(x2 + y2)2 − 2(x2 + y2) + 1 ⇒ A ≥ 
( x2 + y 2)2 − 2(x2 + y2) + 1
Đặt t = x2 + y2 , ta có x2 + y2 ≥ 
≥ 
⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t2 − 2t + 1.
Xét f(t) = t2 − 2t + 1; f'(t) = 
t - 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ 
f(t) = f() = 
A ≥ ; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng
Kết hợp (x + y)3 + 4xy ≥ 2 với (x + y)2 ≥ 4xy suy ra: (x + y)3 + (x + y)2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1
A = 3(x4 + y4 + x2 y2) − 2(x2 + y2 ) + 1 = (x2 + y2)2 + (x4 + y4) − 2(x2 + y2) + 1 ≥ (x2 + y 2)2 + (x2 + y2)2 − 2(x2 + y2) + 1 ⇒ A ≥ ( x2 + y 2)2 − 2(x2 + y2) + 1
Đặt t = x2 + y2 , ta có x2 + y2 ≥ ≥ ⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t2 − 2t + 1.
Xét f(t) = t2 − 2t + 1; f'(t) = t - 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ f(t) = f() =
A ≥ ; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình
=
-
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Tính tích phân I=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy.