Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - 
.
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - .
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀ t ≥ 0 (*).
Xét hàm f(t) = 3t – t – 1, có f’(t) = 3tln3 – 1 > 0 , ∀ t ≥ 0 và f(0) = 0, suy ra (*) đúng.
Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b|,
ta có: (|x – y| + |y – z| + |z – x|)2 = |x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2 + |x – y|(|y – z| + |z – x|)+ |y – z|(|z – x| + |x – y|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|) ≥ 2(|x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2).
Do đó |x – y| + | y – z| + |z – x| ≥ 
= 
Mà x + y+ z = 0, suy ra |x – y| + |y – z| + |z – x| ≥ 
Suy ra P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - ≥ 3.
Khi x = y = z = 0 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀ t ≥ 0 (*).
Xét hàm f(t) = 3t – t – 1, có f’(t) = 3tln3 – 1 > 0 , ∀ t ≥ 0 và f(0) = 0, suy ra (*) đúng.
Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b|,
ta có: (|x – y| + |y – z| + |z – x|)2 = |x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2 + |x – y|(|y – z| + |z – x|)+ |y – z|(|z – x| + |x – y|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|) ≥ 2(|x – y|2 + |y – z|2 + |z – x|2).
Do đó |x – y| + | y – z| + |z – x| ≥
=
Mà x + y+ z = 0, suy ra |x – y| + |y – z| + |z – x| ≥
Suy ra P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z – x| - ≥ 3.
Khi x = y = z = 0 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Tính tích phân I=
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Giải phương trình:
