Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 346

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{4}, y = z = 0.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{5}, y = z = 0.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{7}, y = z = 0.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết x3 + y3 + z3 = 2 + 3xyz

⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 2

⇔ (x + y + z)[\frac{3}{2}(x2 + y2 + z2) - \frac{1}{2}(x + y + z)2] = 2.

Đặt t = x + y + z. Khi đó t>0 và x2 + y2 + z2 = \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}.

Xét hàm f(t) = \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} trên (0; +∞).

Ta có f'(t) = \frac{2}{3}t - \frac{4}{3t^{2}}, f'(t) = 0 ⇔ t = \sqrt[3]{2} và \lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t) = \lim_{t\rightarrow+\infty}f(t) = +∞.

Do đó \min_{t\epsilon\left(0;+\infty\right)}f(t) = f(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{4}, đạt được khi t = \sqrt[3]{2}.

Ta có P ≥ x2 + y2 + z2 ≥ \sqrt[3]{4}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.

Nhận xét. Để chứng minh \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} ≥ \sqrt[3]{4} ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương.

Thật vậy: \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} = \frac{t^{2}}{3} + \frac{2}{3t} + \frac{2}{3t} ≥ 3\sqrt{\frac{t^{2}}{3}.\frac{2}{3t}.\frac{2}{3t}} = \sqrt[3]{4}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \frac{t^{2}}{3} = \frac{2}{3t} ⇔ t = \sqrt[3]{2}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết