Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2999

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2  ≤ 3y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{1}{(x+1)^{2}} +\frac{4}{(y+2)^{2}} + \frac{8}{(z+3)^{2}}

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2  ≤ 3y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{1}{(x+1)^{2}} +\frac{4}{(y+2)^{2}} + \frac{8}{(z+3)^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1
B.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 4
C.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 3
D.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 2x + 4y + 2z  ≤ (x2 + 1) + ( y2 + 4) + (z2 + 1) = x2 + y2 + z2 + 6  ≤ 3y + 6.

Suy ra x + \frac{y}{2} + z  ≤ 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = \frac{y}{2} = z = 1

Chú ý rằng, với hai số dương a,b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ≥  \frac{8}{(a+b)^{2}}        (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng (1) ta được P = \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^{2}} +\frac{8}{(z+3)^{2}}

≥  \frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^{2}} + \frac{8}{(z+3)^{2}}

≥ \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+2+z+3)^{2}} = \frac{64\times4}{(2x+y+2z+10)^{2}} ≥ \frac{64\times4}{(6+10)^{2}} =1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x =1, y =2, z= 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =1, y  =2, z =1.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết