Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8
≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8
Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 -
, với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 -
> 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi 
. <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8 ≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8
Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Tính tích phân I=
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.