Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8
≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8
Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 -
, với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 -
> 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi 
. <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8 ≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8
Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Tính tích phân I =
-
Tính tích phân I=
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Tính tích phân I=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.