Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15549

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.


A.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{5}{25}; giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{191}{16}.
B.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{2}{25}; giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{1}{16}.
C.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{25}{2}; giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{191}{16}.
D.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{25}{2}; giá trị nhỏ nhất của S bằng - frac{191}{16}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x + y = 1, nên: S = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 9xy + 25xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12.

Đặt t = xy, ta được : S = 16t2 – 2t + 12; 0 ≤ xy ≤  frac{(x+y)^{2}}{4} =  frac{1}{4}  => t ∈ [0; frac{1}{4}].

Xét hàm f(t) = 16t2 – 2t + 12 trên đoạn [0; frac{1}{4}]

f’(t) = 32t – 2; f’(t) = 0 ⇔ t = frac{1}{16} ; f(0) = 12, f(frac{1}{16}) = frac{191}{16}, f(frac{1}{4}) = frac{25}{2}.

max_{[0;frac{1}{4}]}f(t) = f(frac{1}{4}) = frac{25}{2}; min_{[0;frac{1}{4}]}f(t) = ffrac{1}{16}= frac{191}{16}.

Giá trị lớn nhất của S bằng frac{25}{2}; khi left{begin{matrix}x+y=1\xy=frac{1}{4}end{matrix}right. ⇔ (x; y) = (frac{1}{2} ; frac{1}{2})

Giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{191}{16}; khi left{begin{matrix}x+y=1\xy=frac{1}{16}end{matrix}right.

⇔ (x; y) = (frac{2+sqrt{3}}{4}; frac{2-sqrt{3}}{4}) hoặc (x; y) = (frac{2-sqrt{3}}{4} ; frac{2+sqrt{3}}{4})

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết