Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36023

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}


A.
Min P =  9 
B.
Min P = 8 
C.
Min P = 7 
D.
Min P = 6 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+1 \geq \frac{3}{xy}; \frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}+1 \geq \frac{3}{yz}; \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+1 \geq \frac{3}{zx}

Suy ra \frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ 3\geq \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}

Suy ra

P + 3 ≥ \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Mặt khác , áp dụng BĐT \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} với a , b > 0 ta có

P + 3 ≥ \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+ (\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}})+(\frac{1}{yz}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}})+ (\frac{1}{zx}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}})

 ≥  \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4}{y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{z^{2}+x^{2}} =4(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}})+4(\frac{1}{2yz}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}})+4(\frac{1}{2zx}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})

≥ \frac{16}{(x+y)^{2}}+\frac{16}{(y+z)^{2}}+\frac{16}{(z+x)^{2}}\geq 16.\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}}}

≥ 16.\frac{3.9}{(2x+2y+2z)^{2}}\geq 16.\frac{3.9}{4.3^{2}} = 12

Do đó P ≥ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x = y = z = 1

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết