Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36023

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}


A.
Min P =  9 
B.
Min P = 8 
C.
Min P = 7 
D.
Min P = 6 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+1 \geq \frac{3}{xy}; \frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}+1 \geq \frac{3}{yz}; \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+1 \geq \frac{3}{zx}

Suy ra \frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ 3\geq \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}

Suy ra

P + 3 ≥ \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Mặt khác , áp dụng BĐT \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} với a , b > 0 ta có

P + 3 ≥ \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+ (\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}})+(\frac{1}{yz}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}})+ (\frac{1}{zx}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}})

 ≥  \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4}{y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{z^{2}+x^{2}} =4(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}})+4(\frac{1}{2yz}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}})+4(\frac{1}{2zx}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})

≥ \frac{16}{(x+y)^{2}}+\frac{16}{(y+z)^{2}}+\frac{16}{(z+x)^{2}}\geq 16.\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}}}

≥ 16.\frac{3.9}{(2x+2y+2z)^{2}}\geq 16.\frac{3.9}{4.3^{2}} = 12

Do đó P ≥ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x = y = z = 1

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết