Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x3+y3+z3).(
+
+
).
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x3+y3+z3).(++).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Từ giả thiết ta có 
Suy ra (4-x)2 ≥ 4[5 - x(4 - x)] ⇔ 3x2 - 8x + 4 ≤ 0⇔ 
≤ x ≤ 2.
Mặt khác (x3 +y3 +z3) = (x+y+z).(x2 +y2 +z2-xy-yz-zx) + 3xy
= 4((x+y+z)2 - 3(xy+yz+zx) + 3xyz = 4 + 3xyz
Suy ra P = (4 + 3xyz).
= 
+ 15 = 
+15
Xét hàm f(x) = x3 - 4x2 + 5x trên 
ta có
f'(x) = 3x2 - 8x + 5, f'(x) = 0 ⇔ x = 1, x = 
và f(1) = f(2) = 2, f() = 
, f() = 
Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ . Do đó P ≥ 25
Dấu đẳng thức xáy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Từ giả thiết ta có
Suy ra (4-x)2 ≥ 4[5 - x(4 - x)] ⇔ 3x2 - 8x + 4 ≤ 0⇔ ≤ x ≤ 2.
Mặt khác (x3 +y3 +z3) = (x+y+z).(x2 +y2 +z2-xy-yz-zx) + 3xy
= 4((x+y+z)2 - 3(xy+yz+zx) + 3xyz = 4 + 3xyz
Suy ra P = (4 + 3xyz). = + 15 = +15
Xét hàm f(x) = x3 - 4x2 + 5x trên ta có
f'(x) = 3x2 - 8x + 5, f'(x) = 0 ⇔ x = 1, x =
và f(1) = f(2) = 2, f() = , f() =
Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ . Do đó P ≥ 25
Dấu đẳng thức xáy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Giải phương trình
=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8