Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1341

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}} + \frac{b^{2}}{(b+c)^{2}} + \frac{4c^{3}}{3(c+a)^{3}}

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}} + \frac{b^{2}}{(b+c)^{2}} + \frac{4c^{3}}{3(c+a)^{3}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là - \frac{2}{3}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{2}{3}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là - \frac{3}{2}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{3}{2}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^{2}} + \frac{1}{(1+\frac{c}{b})^{2}} + \frac{4}{3(1+\frac{a}{c})^{3}}.

Đặt x = \frac{b}{a}, y = \frac{c}{b}, z = \frac{a}{c}.

Khi đó x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1 và

P = \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{4}{3(1+z)^{3}}.

Ta chứng minh \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} ≥ \frac{1}{1+xy}    (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) ⇔ xy(x - y)2 + (1 - xy)2 ≥ 0, luôn đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right. ⇔ x = y = 1

Áp dụng (*) và sử dụng xyz = 1 ta có

P ≥ \frac{1}{1+xy} + \frac{4}{3(1+z)^{3}} = \frac{z}{1+z} + \frac{4}{3(1+z)^{3}}.

Xét hàm f(z) = \frac{z}{1+z} + \frac{4}{3(1+z)^{3}} trên (0;+∞)

Ta có f'(z) = \frac{1}{(z+1)^{2}} - \frac{4}{(1+z)^{4}} = \frac{(z-1)(z+3)}{(1+z)^{4}}; f'(z) = 0 ⇔ z = 1

Từ bảng biến thiên

ta suy ra P ≥ \frac{2}{3}, dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix}x=y=1\\z=1\end{matrix}\right.

⇔ x = y = z = 1 hay a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{2}{3}, đạt khi a = b = c.

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết