Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 993

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{2}{a^{4}} + \frac{2}{b^{4}} + \frac{3}{(a-b)^{2}}

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{2}{a^{4}} + \frac{2}{b^{4}} + \frac{3}{(a-b)^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{17}{6}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là- \frac{13}{8}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{13}{8}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{15}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết 0 < ab ≤  4 ta có

P ≥ \frac{a^{2}b^{2}}{16}(\frac{2}{a^{4}}+\frac{2}{b^{4}}) + \frac{ab}{4}.\frac{3}{(a-b)^{2}} = \frac{1}{8}(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}) + \frac{3}{4}.\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}

Đặt t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}. Khi đó t ≥ 2 và P≥ \frac{1}{8}(t2-2) + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} = \frac{1}{8}t2 + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4}.

Xét hàm f(t) = \frac{1}{8}t2 + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4} trên (2;+∞). Ta có

             f'(t) = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4}.\frac{1}{(t-2)^{2}}; f'(t) = 0⇔ t(t-2)^{2} = 3 ⇔ t = 3

Vì \lim_{t\rightarrow2^{+}}f(t) =\lim_{t\rightarrow+\infty}f(t) = +∞ nên \min_{(0;+\infty)}f(t) = f(3) = \frac{13}{8}

Suy ra P ≥ \frac{13}{8}, dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix}ab=4\\t=3\end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix}ab=4\\a+b=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.

hay \begin{bmatrix}a=\sqrt{5}-1,b=\sqrt{5}+1\\a=\sqrt{5}+1,b=\sqrt{5}-1\end{bmatrix}

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{13}{8}.

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết