Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 993

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{2}{a^{4}} + \frac{2}{b^{4}} + \frac{3}{(a-b)^{2}}

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{2}{a^{4}} + \frac{2}{b^{4}} + \frac{3}{(a-b)^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{17}{6}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là- \frac{13}{8}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{13}{8}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{15}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết 0 < ab ≤  4 ta có

P ≥ \frac{a^{2}b^{2}}{16}(\frac{2}{a^{4}}+\frac{2}{b^{4}}) + \frac{ab}{4}.\frac{3}{(a-b)^{2}} = \frac{1}{8}(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}) + \frac{3}{4}.\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}

Đặt t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}. Khi đó t ≥ 2 và P≥ \frac{1}{8}(t2-2) + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} = \frac{1}{8}t2 + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4}.

Xét hàm f(t) = \frac{1}{8}t2 + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4} trên (2;+∞). Ta có

             f'(t) = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4}.\frac{1}{(t-2)^{2}}; f'(t) = 0⇔ t(t-2)^{2} = 3 ⇔ t = 3

Vì \lim_{t\rightarrow2^{+}}f(t) =\lim_{t\rightarrow+\infty}f(t) = +∞ nên \min_{(0;+\infty)}f(t) = f(3) = \frac{13}{8}

Suy ra P ≥ \frac{13}{8}, dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix}ab=4\\t=3\end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix}ab=4\\a+b=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.

hay \begin{bmatrix}a=\sqrt{5}-1,b=\sqrt{5}+1\\a=\sqrt{5}+1,b=\sqrt{5}-1\end{bmatrix}

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{13}{8}.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết