Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16799

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : sqrt{frac{a}{b+c}} + sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} > 2.

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng :

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : sqrt{frac{a}{b+c}} + sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} > 2.


A.
frac{sqrt{a}}{sqrt{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c}; sqrt{frac{b}{a+c}} ≥  frac{2b}{a+b+c};sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2c}{a+b+c}.
B.
sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2c}{a+b+c}.
C.
sqrt{frac{b}{a+c}} ≥  frac{2b}{a+b+c}.
D.
frac{sqrt{a}}{sqrt{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: sqrt{frac{b+c}{a}} .1 ≤ frac{1}{2}(frac{b+c}{a} + 12) = frac{a+b+c}{2a}

⇔ frac{sqrt{b+c}}{sqrt{a}} ≤ frac{a+b+c}{2a}

⇔ sqrt{b+c}.2a ≤ (a + b + c) √a (vì a, b, c > 0)

⇔frac{sqrt{a}}{sqrt{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c}

⇔ sqrt{frac{a}{b+c}} ≥ frac{2a}{a+b+c} (1)

(dấu “=”xảy ra khi sqrt{frac{b+c}{a}} = 1 ⇔ a = b + c)

Chứng minh tương tự ta có: sqrt{frac{b}{a+c}} ≥  frac{2b}{a+b+c}(2)  

                                                              sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2c}{a+b+c}   (3)

Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta được:

 sqrt{frac{a}{b+c}} + sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ frac{2a+2b+2c}{a+b+c}

⇔sqrt{frac{a}{b+c}} +sqrt{frac{b}{a+c}} + sqrt{frac{c}{a+b}} ≥ 2  (*)

Dấu “=” xảy ra khi: left{begin{matrix}a=b+c\b=a+c\c=b+aend{matrix}right. => a + b + c = 2a + 2b + 2c

⇔ a + b + c = 0 trái với giả thiết a, b, c là các số dương.

Vậy bất đẳng thức (*) không xảy ra dấu “=”.

Vậy: sqrt{frac{x}{y+z}} + sqrt{frac{y}{x+z}} + sqrt{frac{z}{x+y}} > 2.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết