Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5503

Cho bất phương trình: 5√x + \frac{5}{2\sqrt{x}}< 2x +\frac{1}{2x} + m( m là tham số). a.Giải bất phương trình khi m = 4. b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [\frac{1}{4}  ; 1 ]

Cho bất phương trình: 5√x +

Câu hỏi

Nhận biết

Cho bất phương trình: 5√x + \frac{5}{2\sqrt{x}}< 2x +\frac{1}{2x} + m( m là tham số). a.Giải bất phương trình khi m = 4. b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [\frac{1}{4}  ; 1 ]


A.
m > 5√2 + 2
B.
m > - 5√2 – 2
C.
m > - 5√2 + 2
D.
m > 5√2 – 2
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện: x > 0

BPT ⇔ 5(√x + \frac{1}{2\sqrt{x}} ) < 2( x + \frac{1}{4x}) + m.

Đặt √x + \frac{1}{2\sqrt{x}} = t

Để xét điều kiện cho t ta có:

√x + \frac{1}{2\sqrt{x}} ≥ 2.\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}} = √2;  dấu “=” xảy ra khi x = \frac{1}{2}.Do đó t ≥ √2.

Ta lại có t2 = (√x + \frac{1}{2\sqrt{x}})2  = x + \frac{1}{4x} + 1 =>x + \frac{1}{4x}= t2 -1.

a)Do đó BPT trở thành 5t < 2t2 – 2 + 4 ⇔  2t2 – 5t + 2 > 0 ⇔ \begin{bmatrix}t> 2\\t< \frac{1}{2}\end{bmatrix}

kết hợp với t ≥ √2 suy ra t > 2.

Quay lại ẩn số x ta cần giải bất phương trình:

√x + \frac{1}{2\sqrt{x}}> 2 ⇔√x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2 > 0 ⇔ \frac{2x-4\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}> 0

⇔ 2x – 4√x + 1 > 0  ⇔(√x - \frac{2-\sqrt{2}}{2})( √x - \frac{2+\sqrt{2}}{2}) > 0

⇔\begin{bmatrix}\sqrt{x}> \frac{2+\sqrt{2}}{2}\\\sqrt{x}< \frac{2-\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}  ⇔  \begin{bmatrix}x> \frac{3}{2}+\sqrt{2}\\0< x< \frac{3}{2}-\sqrt{2}\end{bmatrix} ⇔  x∈( 0 ; -√2) ∪( + √2;+ ∞).
b.Với cách đặt ẩn phụ như trên ta có BPT đã cho trở thành:

5t < 2t2 – 2 + m hay –m< 2t2 – 5t – 2   ( 2)

Tuy vậy ở đây ta chỉ xét: x ∈[ \frac{1}{4};1 ] nên điều kiện cho t cần tìm lại bằng cách:

Xét f(x) =  √x + \frac{1}{2\sqrt{x}}, với \frac{1}{4} ≤  x ≤ 1.

=>f’(x) > 0 ⇔ 1 > x > \frac{1}{2}; f’(x) < 0 ⇔ \frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}

Ta có bảng biến thiên:

 

Theo kết quả xét hàm số như trong bảng biến thiên thì t ∈ [√2; \frac{3}{2}]; bài toán trở thành: Tìm các giá trị của m để: 2t2 – 5t -2 > -m nghiệm đúng với mọi t ∈ [√2; \frac{3}{2}]

Điều kiện để phương trình : 2t2 – 5t – 2 > -m nghiệm đúng với mọi t ∈ [√2; \frac{3}{2}] là ( 2t2 – 5t – 2 ) > -m.

Xét g(t) = ( 2t2 – 5t – 2); t ∈ [√2;\frac{3}{2} ] =>g’(t) = 4t – 5 => g’(t) = 0 khi t = \frac{5}{4}

Ta có bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có:

2t2 – 5t – 2 > - m ⇔ -m < 2 - 5√2 ⇔ m > 5√2 – 2.

Với m > 5√2 – 2 thì 5√x + \frac{5}{2\sqrt{x}}< 2x + \frac{1}{2x}+ m đúng với mọi x ∈ [ \frac{1}{4}; 1]

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết