Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41599

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}} . 

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}} . 


A.
Min P = √3 + 2
B.
Min P = √3 + 1
C.
Min P = √3 - 1
D.
Min P = √3 - 2
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 

P = \frac{x-1+y-1}{y^{2}}+\frac{y-1+z-1}{z^{2}}+\frac{z-1+x-1}{x^{2}}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})

(1)

Mà \frac{x-1+y-1}{y^{2}} + \frac{y-1+z-1}{z^{2}} + \frac{z-1+x-1}{x^{2}}

= (x - 1)(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) + (y - 1)(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}) + (z - 1)(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{z^{2}})

≥ (x - 1)\frac{2}{xy} + (y - 1)\frac{2}{yz} + (z - 1 ) \frac{2}{xz} (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

P ≥  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} - 2(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx})  (3)

Từ giả thiết ta có \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1 (4)

Mà \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} ≥ \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}  = 1 (5)

(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} ≥ 3 (\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} ) =>\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ≥ √3 (6)

Từ (3), (4), (5) suy ra P ≥ √3 - 1

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = √3.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết