Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 17683

Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng:  \small \frac{a(a+c-2b)}{1+ab}+\frac{b(b+a-2c)}{1+bc}+\frac{c(c+b-2a)}{1+ca}\geq 0

Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

\small \frac{a(a+c-2b)}{1+ab}+\frac{b(b+a-2c)}{1+bc}+\frac{c(c+b-2a)}{1+ca}\geq 0


A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

\small \frac{a(a+c+b-3b)}{1+ab}+\frac{b(b+a+c-3c)}{1+bc}+\frac{c(c+b+a-3a)}{1+ca}\geq 0

⇔ \small \frac{3a(1-b)}{1+ab}+\frac{3b(1-c)}{1+bc}+\frac{3c(1-a)}{1+ac}\geq 0

⇔ \small \frac{a(1-b)}{1+ab}+\frac{b(1-c)}{1+bc}+\frac{c(1-a)}{1+ac}\geq 0

⇔ \small \frac{a(1-b)}{1+ab}+1+\frac{b(1-c)}{1+bc}+1+\frac{c(1-a)}{1+ac}+1\geq 3

⇔ \small \frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\geq 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 

\small \frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\geq 3.\small \sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}

Ta cần chứng minh: \small \sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}} ≥ 1

<=> (a+1)(b+1)(c+1) ≥ (1+ab)(1+bc)(1+ca)

<=> abc + ab +bc +ca + a +b +c +1 ≥ a2b2c2 + abc(a+b+c) + ab +bc +ca +1

<=> 3 ≥ a2b2c2 + 2abc  (*)

Từ a+b+c=3 ≥ 3\small \sqrt[3]{abc} => abc ≤ 1 

=> (*) đúng => điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết