Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40156

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .


A.
- \dpi{80} \frac{4}{8}
B.
\dpi{80} \frac{4}{9}
C.
- \dpi{80} \frac{9}{4}
D.
\dpi{80} \frac{9}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a5 + a5 + 1 + 1+ 1 ≥ 5 \sqrt[5]{a^5 . a^5 . 1 . 1 . 1} = 5a2 .

b5 + b5 +  1 + 1 + 1 ≥ 5 \sqrt[5]{b^5 . b^5 . 1 . 1 . 1} = 5b2 .

=> 2a5 + 2b5 + 6 ≥  5a2 + 5b2 <=> a2 + b2 ≤ 2

Do đó P ≥ \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy.2} = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy}

Xét hàm số f(x) = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy} với x ∈ (0; 4] và y là tham số

Ta có f'(x) = \frac{x^2 - 2y^2 - 24}{2x^2y} ≤ \dpi{80} \frac{4^{2}-2.0^{2}-24}{2x^{2}y} \frac{-8}{2x^2y} < 0 ∀x, y ∈ (0; 4]

=> f(x) nghịch biến trên (0; 4] => f(x) ≥ f(4)

=> P ≥ f(4) = \frac{2}{y} + \frac{y}{4} + \frac{3}{y} = \frac{y}{4} + \frac{5}{y} = g(y) với y ∈ (0; 4]

g'(y) = \frac{-5}{y^2} + \frac{1}{4} ≤  \frac{1}{4} + \frac{-5}{16} = \frac{-1}{16} < 0 ∀y ∈ (0; 4]

=> g(y) nghịch biến trên (0; 4] => g(y) ≥ g(4) = \dpi{80} \frac{5}{4} + 1 = \dpi{80} \frac{9}{4}

vậy min P = \dpi{80} \frac{9}{4} khi a = b = 1 và x = y = 4 .

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết