Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40156

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .


A.
- \dpi{80} \frac{4}{8}
B.
\dpi{80} \frac{4}{9}
C.
- \dpi{80} \frac{9}{4}
D.
\dpi{80} \frac{9}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a5 + a5 + 1 + 1+ 1 ≥ 5 \sqrt[5]{a^5 . a^5 . 1 . 1 . 1} = 5a2 .

b5 + b5 +  1 + 1 + 1 ≥ 5 \sqrt[5]{b^5 . b^5 . 1 . 1 . 1} = 5b2 .

=> 2a5 + 2b5 + 6 ≥  5a2 + 5b2 <=> a2 + b2 ≤ 2

Do đó P ≥ \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy.2} = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy}

Xét hàm số f(x) = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy} với x ∈ (0; 4] và y là tham số

Ta có f'(x) = \frac{x^2 - 2y^2 - 24}{2x^2y} ≤ \dpi{80} \frac{4^{2}-2.0^{2}-24}{2x^{2}y} \frac{-8}{2x^2y} < 0 ∀x, y ∈ (0; 4]

=> f(x) nghịch biến trên (0; 4] => f(x) ≥ f(4)

=> P ≥ f(4) = \frac{2}{y} + \frac{y}{4} + \frac{3}{y} = \frac{y}{4} + \frac{5}{y} = g(y) với y ∈ (0; 4]

g'(y) = \frac{-5}{y^2} + \frac{1}{4} ≤  \frac{1}{4} + \frac{-5}{16} = \frac{-1}{16} < 0 ∀y ∈ (0; 4]

=> g(y) nghịch biến trên (0; 4] => g(y) ≥ g(4) = \dpi{80} \frac{5}{4} + 1 = \dpi{80} \frac{9}{4}

vậy min P = \dpi{80} \frac{9}{4} khi a = b = 1 và x = y = 4 .

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết