Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12294

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} - \frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}.

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} - \frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{2}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{8}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{3}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{7}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: (a + b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)} ≤(a + b)\frac{a+b+4c}{2} = \frac{a^{2}+b^{2}+2ab+4ac+4bc}{2} ≤ 2(a2 + b2 + c2).

Đặt t = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4} , suy ra t > 2 và P ≤ - \frac{4}{t} - \frac{9}{2(t^{2}-4)}

Xét f(t) =\frac{4}{t} - \frac{9}{2(t^{2}-4)}, với t > 2. Ta có f’(t) = -\frac{4}{t^{2}} + \frac{9t}{(t^{2}-4)^{2}}

=\frac{-(t-4)(4t^{3}+7t^{2}-4t-16)}{t^{2}(t^{2}-4)^{2}}

Với t >  2 ta có 4t3 + 7t2 – 4t – 16 = 4(t3 – 4) + t(7t – 4) > 0. Do đó f’(t) = 0 ⇔t = 4.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được P  ≤ \frac{5}{8}

Khi a = b = c = 2 ta có P = \frac{5}{8}. Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{5}{8}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết