Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34212

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng \frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3

Chứng minh rằng

\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0


A.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0
B.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} > 0
C.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} = 0
D.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} < 0
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức 

⇔\frac{a(a+c+b-3b)}{1+ab}+\frac{b(b+a+c-3c)}{1+bc}+\frac{c(c+b+a-3a)}{1+ca} ≥ 0

⇔\frac{3a(1-b)}{1+ab} + \frac{3b(1-c)}{1+bc} + \frac{3c(1-a)}{1+ca} ≥ 0

⇔\frac{a(1-b)}{1+ab} + \frac{b(1-c)}{1+bc} + \frac{c(1-a)}{1+ca} ≥ 0

⇔ \frac{a(1-b)}{1+ab} + 1 + \frac{b(1-c)}{1+bc} + 1 + \frac{c(1-a)}{1+ca} + 1 ≥ 3

⇔\frac{a+1 }{1+ab} + \frac{b+1 }{1+bc} + \frac{c+1 }{1+ca} ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 

\frac{a+1 }{1+ab} +\frac{b+1 }{1+bc} + \frac{c+1 }{1+ca} ≥ 3\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}

Ta phải chứng minh 

\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}  ≥ 1

⇔(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

Thật vậy: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

⇔ abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 ≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1

⇔3 ≥ a2b2c2 +2abc (*)

Từ a + b + c = 3 suy ra 3 ≥ 3 \sqrt[3]{abc} ⇔ abc  ≤  1

Suy ra (*) đúng.

Vậy \frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết