Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 33827

Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0 Chứng minh rằng : \frac{x^{2}y}{z} + \frac{y^{2}z}{x} + \frac{z^{2}x}{y} ≥ x2  + y2 + z2

Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0 Chứng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0

Chứng minh rằng : \frac{x^{2}y}{z} + \frac{y^{2}z}{x} + \frac{z^{2}x}{y} ≥ x2  + y2 + z2


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức tương đương

\frac{x^{2}y}{z} + \frac{y^{2}z}{x} + \frac{z^{2}x}{y} ≥ x2  + y2 + z2  

⇔ \frac{x^{2}(y-z)}{z} + \frac{y^{2}(z-x)}{x} + \frac{z^{2}(x-y)}{y} ≥ 0

Do  y ≥ z > 0 nên y- z ≥ 0 và \frac{x^{2}(y-z)}{z} ≥ \frac{x^{2}(y-z)}{y}

Do x ≥ y ≥ z > 0 nên z - x ≤ 0 và \frac{y^{2}(z-x)}{x} ≥ \frac{y^{2}(z-x)}{y}

Từ đó : \frac{x^{2}(y-z)}{z} + \frac{y^{2}(z-x)}{x} + \frac{z^{2}(x-y)}{y} ≥\frac{x^{2}(y-z)}{y}+\frac{y^{2}(z-x)}{y} + \frac{z^{2}(x-y)}{y}

Biến đổi x2 (y - z) + y2 (z - x) + z2 (x - y) = ( x2y - xy2) – (x2z – y2z) + z2(x - y) 

= (x - y )(y - z )(x - z ) ≥ 0

(Do  x ≥  y ≥ z )

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết