Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16566

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}


A.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
B.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
C.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
D.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

(a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0 ⇔ small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b) (*)

Ta có: small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(frac{a^{2}}{b}+frac{b^{2}}{a})(a+b)geq 2sqrt{ab}.2sqrt{ab}=4ab

(1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Khi đó: từ (*) suy ra 4ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Đặt ab=t (t>0) ta được 4t ≤ 1 - 2√t + t ⇔ 0 < t ≤ small frac{1}{9}

Ta có: small frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}}leq frac{2}{1+ab}

⇔ small (frac{1}{1+a^{2}}-frac{1}{1+ab})+(frac{1}{1+b^{2}}-frac{1}{1+ab})leq 0

⇔ small frac{(a-b)^{2}.(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2}).(1+b^{2})}leq 0 luôn đúng với mọi a,b ∈ (0;1)

Mặt khác:

small frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}leq sqrt{2(frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}})}leq sqrt{2.frac{2}{1+ab}}=frac{2}{sqrt{1+ab}}

và: ab – a2 – b2 = ab – (a-b)2 ≤ ab nên:

small Fleq frac{2}{sqrt{1+ab}}+ab=frac{2}{sqrt{1+t}}+t

Xét f(t)= small frac{2}{sqrt{1+t}}+t với 0 < t ≤ small frac{1}{9} ta có: f'(t) >0 với mọi 0 < t ≤ small frac{1}{9}

=> f(t) ≤ f(small frac{1}{9}) = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=small frac{1}{3}

Vậy max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9} đạt được khi a=b=small frac{1}{3}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết