Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16566

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}


A.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
B.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
C.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
D.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

(a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0 ⇔ small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b) (*)

Ta có: small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(frac{a^{2}}{b}+frac{b^{2}}{a})(a+b)geq 2sqrt{ab}.2sqrt{ab}=4ab

(1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Khi đó: từ (*) suy ra 4ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Đặt ab=t (t>0) ta được 4t ≤ 1 - 2√t + t ⇔ 0 < t ≤ small frac{1}{9}

Ta có: small frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}}leq frac{2}{1+ab}

⇔ small (frac{1}{1+a^{2}}-frac{1}{1+ab})+(frac{1}{1+b^{2}}-frac{1}{1+ab})leq 0

⇔ small frac{(a-b)^{2}.(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2}).(1+b^{2})}leq 0 luôn đúng với mọi a,b ∈ (0;1)

Mặt khác:

small frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}leq sqrt{2(frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}})}leq sqrt{2.frac{2}{1+ab}}=frac{2}{sqrt{1+ab}}

và: ab – a2 – b2 = ab – (a-b)2 ≤ ab nên:

small Fleq frac{2}{sqrt{1+ab}}+ab=frac{2}{sqrt{1+t}}+t

Xét f(t)= small frac{2}{sqrt{1+t}}+t với 0 < t ≤ small frac{1}{9} ta có: f'(t) >0 với mọi 0 < t ≤ small frac{1}{9}

=> f(t) ≤ f(small frac{1}{9}) = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=small frac{1}{3}

Vậy max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9} đạt được khi a=b=small frac{1}{3}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết