Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9680

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4(\sqrt{x-3} + \sqrt{y+1}) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{y+2}

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4(

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4(\sqrt{x-3} + \sqrt{y+1}) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{y+2}


A.
maxM = 1 + \frac{1}{10+4\sqrt{5}}  minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}}
B.
maxM = 1 - \frac{1}{10+4\sqrt{5}}  minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}}
C.
maxM = 1 + \frac{1}{10+4\sqrt{5}}  minM = \frac{-4}{19+12\sqrt{2}}
D.
maxM = 1 + \frac{1}{10-4\sqrt{5}}  minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \sqrt{x-3} = a, \sqrt{y+1} = b, với a, b ≥ 0. Giả thiết

x + y - 3 = 4(\sqrt{x-3} + \sqrt{y+1}) ta có

a2 + b2 = 4(a + b) + 1 ⇔ (a + b)2 – 4(a + b) = 2ab + 1      (1)

Bài toán trở về tìm Max, min của M = \frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} với điều kiện (1) và a, b ≥ 0

Lại đặt a + b = S, ab = P. Điều kiện (1) ⇒ a2 + b2 = 4S + 1 và S2 – 4S – 1 = 2P      (1’)

Kết hợp (1’) và điều kiện phương trình t2 – St + P = 0 có 2 nghiệm không âm ta có hệ: \left\{\begin{matrix} S^{2}\geq 4P;S\geq 0;P\geq 0\\S^{2}-4S-1=2P \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} S^{2}\geq 2(S^{2}-4S-1)\\S\geq 0;S^{2}-4S-1\geq 0 \end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix} S^{2}-8S-2\leq 0\\ S\geq 0;S^{2}-4S-1\geq 0 \end{matrix}\right. ⇔ 2 + √5 ≤ S ≤ 4 + 3√2   (2)

Có \frac{1}{u} + \frac{1}{v} ≥ \frac{4}{u+v} với u, v > 0 nên M ≥ \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2} = \frac{4}{4S+3}

(do a2 + b2 = 4S + 1)

Mà có (2) nên M ≥ \frac{4}{4(4+3\sqrt{2})+3} ⇒ minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}} khi a = b = 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}

M =  \frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} = \frac{a^{2}+b^{2}+2}{a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}+1} = \frac{4S+3}{4S+2+P^{2}} (do a2 + b2 = 4S + 1)

P2 ≥ 0 ⇒ M ≤ \frac{4S+3}{4S+2} = 1 + \frac{1}{4S+2} ≤ 1 + \frac{1}{4(2+\sqrt{5})+2} ⇒ maxM = 1 + \frac{1}{10+4\sqrt{5}}

Đạt được khi a = 0, b = 2 + √5 hoặc ngược lại

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết