Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9580

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oxz một góc nhỏ nhất

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7)

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oxz một góc nhỏ nhất


A.
5x – 13y – 12z + 70 = 0
B.
-5x – 13y – 12z - 70 = 0
C.
5x – 13y – 12z - 70 = 0
D.
5x + 13y – 12z - 70 = 0
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi \overrightarrow{n} = (a ; b ; c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0) là vtpt của mặt phẳng (P), thì vì (P) đi qua A, B nên \overrightarrow{n} vuông góc với \overrightarrow{AB} = (-5 ; -13 ; 12)

⇒ \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} = 0 ⇒ -5a - 13b + 12c = 0 ⇒ b = \frac{-5a+12c}{13}

Gọi φ là góc giữa mp (P) và mp (Oxz) thì cosφ = \frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{j}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{j}|}, trong đó \overrightarrow{j} = (0 ; 1 ; 0) là vtpt của mặt phẳng (Oxz). Vậy cosφ = \frac{|b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

 

Nếu b = 0 thì cosφ = 0 ⇒ φ = 900 có giá trị lớn nhất.

Nếu b ≠ 0 thì:

cosφ = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{169(a^{2}+c^{2})}{(-5a+12c)^{2}}+1}}

Ta có: (-5a + 12c)2 ≤ (25 + 144) (a2 + c2) = 169(a2 + c2), nên

 cosφ ≤ \sqrt{\frac{1}{1+1}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ⇒ φ ≥ 450

Dấu “=” xảy ra khi -12a = 5c. Chọn a = 5 thì c = -12 và b = -13

Vậy pt mp (P) là: 5(x – 2) - 13y – 12(z + 5) = 0 ⇔ 5x – 13y – 12z - 70 = 0

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết