Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9133

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =  \frac{2}{x^{2}+1} + \frac{3}{y^{2}+1} - \frac{2}{z^{2}+1}.

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =  \frac{2}{x^{2}+1} + \frac{3}{y^{2}+1} - \frac{2}{z^{2}+1}.


A.
Pmax = \frac{10}{7}
B.
Pmax = \frac{10}{3}
C.
Pmax = \frac{3}{8}
D.
Pmax = \frac{9}{8}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: xyz + x + y = z ⇔x + y = z(1 –xy) ⇔ z = \frac{x+y}{1-xy} (vì x, y ,z > 0 => 1 –xy > 0)

Đặt x = tanα, y = tanβ với α, β ∈(0; \frac{\pi }{2}) khi đó z = tan(α + β) và biểu thức trở thành: P = \frac{2}{1+tan^{2}\alpha } + \frac{3}{1+tan^{2}\\\beta } -\frac{2}{1+tan^{2}(\alpha +\beta )} 

= 2cos2α + 3cos2β – 2cos2(α + β)

= cos2α+ 1 + 3cos2β - [cos(2α + 2β ) + 1]

= 2sinβsin(2α + β) + 3(1 – sin2β)

Đặt t = sinβ thì P ≤ -3t2 + 2t + 3 = -3( t - \frac{1}{3})2 +\frac{10}{3} ≤ \frac{10}{3}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : \left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\sin(2\alpha +\beta )=1\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\2\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta +2k\pi \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\\cos2\alpha =sin\beta \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}cos^{2}\beta =\frac{8}{9}\\\cos^{2}\alpha =\frac{2}{3}\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}y^{2}=tan^{2}\beta =\frac{1}{8}\\x^{2}=tan^{2}\alpha =\frac{1}{2}\end{matrix}\right.

Do đó: Pmax = \frac{10}{3}tại , chẳng hạn (x; y ; z) = ( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4}; √2)

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết