Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9109

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = \frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}} + \frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}} + \frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = \frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}} + \frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}} + \frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}


A.
maxA = -\frac{1}{3}
B.
maxA = -\frac{1}{2}
C.
maxA = \frac{1}{2}
D.
maxA = \frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương bất kỳ x và y, ta có:

xy ≤ \frac{(x+y)^{2}}{2} ⇔ \frac{xy}{x+y} ≤ \frac{x+y}{4}

Vì các số a, b, c, \sqrt{ab}, \sqrt{ca}, \sqrt{bc} đều dương nên ta áp dụng kết quả trên, ta có:

\frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}} ≤ \frac{a+\sqrt{bc}}{4} ; \frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}} ≤ \frac{b+\sqrt{ac}}{4} ; \frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}} ≤ \frac{c+\sqrt{ab}}{4}

Kết hợp với các BĐT \sqrt{bc} ≤ \frac{b+c}{2} ; \sqrt{ca} ≤ \frac{c+a}{2} ; \sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2}, suy ra

A ≤ \frac{1}{4}(a + \sqrt{bc} + b + \sqrt{ca} + c + \sqrt{ab}) ≤ \frac{1}{2}(a + b + c) = \frac{1}{2}

A = \frac{1}{2} ⇔ \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{bc};b=\sqrt{ca};c=\sqrt{ab}\\a=b=c \\ a+b+c=1 \end{matrix}\right. ⇔ a = b = c = \frac{1}{3}

Vậy maxA = \frac{1}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết