Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 9046

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{matrix}\right.  (Với x, y ∈R).

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{matrix}\right.  (Với x, y ∈R).


A.
Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 4.
B.
Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 1.
C.
Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 2.
D.
Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 3.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Hệ phương trình được xác định với mọi x, y ∈R

Trừ từng vế hai phương trình ta được:

x + \sqrt{x^{2}-2x+2}+ 3x -1 = y +\sqrt{y^{2}-2y+2} + 3y-1  (*)

Xét hàm số f(t) = t +\sqrt{t^{2}-2t+2} + 3t -1

Ta có: f’(t) = 1 + \frac{t-1}{\sqrt{t^{2}-2t+2}} + 3t-1ln3 = \frac{\sqrt{t^{2}-2t+2}+t-1}{\sqrt{t^{2}-2t+2}}+ 3t-1ln3 > \frac{|t-1|+t-1}{\sqrt{t^{2}-2t+2}} + 3t-1ln3 > 0

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên R, nên từ phương trình (*) suy ra x = y . Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: x +\sqrt{x^{2}-2x+2} - 1 = 3x -1  ⇔ ln(x + \sqrt{x^{2}-2x+2} - 1) = (x  - 1)ln3 (**)

Đặt g(x) = ln(x + \sqrt{x^{2}-2x+2} - 1) – (x – 1)ln3, hàm số xác định trên R

Ta có: g’(x) = \frac{1+\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}}{x-1+\sqrt{x^{2}-2x+2}} - ln3 = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}- ln3 ≤ 1 – ln3 < 0 nên g(x) nghịch biến trên R

Mặt khác g(1) = 0, suy ra pt(**) có nghiệm duy nhất x =1

Như vậy, hệ phương trình có một nghiệm x = y = 1.

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết