Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 Ta có: 
+
+
≤1 Dấu "=" xảy ra khi:
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 Ta có: ++≤1 Dấu "=" xảy ra khi:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
a2b2+b2c2+c2a2+a2b2c2 ≥4
Đặt x=ab, y=bc, z=ca ta cần chứng minh x2+y2+z2+xyz≥4 với mọi x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x≤y; x≤z thì x≤1 ta có:
x2+y2+z2+xyz-4= x2+(y+z)2+yz(x-2)-4 ≥x2+(y+z)2(x-2)-4
=x2+
(3-x)2-4=
(x-1)2(x+2) ≥0
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
a2b2+b2c2+c2a2+a2b2c2 ≥4
Đặt x=ab, y=bc, z=ca ta cần chứng minh x2+y2+z2+xyz≥4 với mọi x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x≤y; x≤z thì x≤1 ta có:
x2+y2+z2+xyz-4= x2+(y+z)2+yz(x-2)-4 ≥x2+(y+z)2(x-2)-4
=x2+(3-x)2-4=(x-1)2(x+2) ≥0
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Tính tích phân I=
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Giải phương trình
=
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Tính tích phân I=
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Tính tích phân I =
