Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 696

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x3+y3+z3).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x3+y3+z3).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).


A.
Giá trị nhỏ nhất của P = -25
B.
Giá trị nhỏ nhất của P = 24
C.
Giá trị nhỏ nhất của P = -24
D.
Giá trị nhỏ nhất của P = 25
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có \left\{\begin{matrix}y+z=4-x\\yz=5-x(4-x))\end{matrix}\right.

Suy ra (4-x)2 ≥ 4[5 - x(4 - x)] ⇔ 3x2 - 8x + 4 ≤ 0⇔ \frac{2}{3} ≤ x ≤ 2.

Mặt khác (x3 +y3 +z3) = (x+y+z).(x2 +y2 +z2-xy-yz-zx) + 3xy

                              = 4((x+y+z)2 - 3(xy+yz+zx) + 3xyz = 4 + 3xyz

Suy ra P = (4 + 3xyz).\frac{xy+yz+zx}{xyz} = \frac{20}{xyz} + 15 = \frac{20}{x^{3}-4x^{2}+5x} +15

Xét hàm f(x) = x3 - 4x2 + 5x trên \begin{bmatrix}\frac{2}{3},2\end{bmatrix} ta có 

            f'(x) = 3x2 - 8x + 5, f'(x) = 0 ⇔ x = 1, x = \frac{5}{3}

           và f(1) = f(2) = 2, f(\frac{2}{3}) = \frac{5}{27}, f(\frac{5}{3}) = \frac{50}{27}

Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ \begin{bmatrix}\frac{2}{3},2\end{bmatrix}. Do đó P ≥ 25

Dấu đẳng thức xáy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết