Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6569

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, \widehat{ABC}=α, BC' hợp với đáy (ABC) một góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết rằng góc BIC là góc vuông 1. chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân (học sinh tự chứng minh) 2. Chứng minh rằng tan2α+tan2β=1

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, \widehat{ABC}=α, BC' hợp với đáy (ABC) một góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết rằng góc BIC là góc vuông 1. chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân (học sinh tự chứng minh) 2. Chứng minh rằng tan2α+tan2β=1


A.
IA2+AD2=\frac{a^{2}}{4} 
B.
 IA2+AD2=\frac{a^{2}}{9} 
C.
 IA2+AD2=\frac{3a^{2}}{4} 
D.
 IA2+AD2=\frac{a^{2}}{16} 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

1. Đặt h=BB', a=B'C'. Gọi D là trung điểm BC. Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên các tam giác IAC và IAB đều vuông ở A và ta có

IB2=IA2+AB2; IC2=IA2+AC2.

Theo giả thiết AB=AC nên IB=IC => tam giác IBC vuông cân.

2. Có BB'⊥(A'B'C') => BC là hình chiếu vuông góc của BC' xuống (ABC)

=> \widehat{C'BC}=β => tan2 β=\frac{h^{2}}{a^{2}}.  ∆ ABC cân ở A, D là trung điểm BC => AD⊥BC 

=> tanα=\frac{AD}{DB}=\frac{2AD}{a} => tan2α=\frac{4AD^{2}}{a^{2}}

tan2α+tan2 β=\frac{h^{2}+4AD^{2}}{a^{2}}= \frac{4AI^{2}+4AD^{2}}{a^{2}}= \frac{4(AI^{2}+AD^{2})}{a^{2}}

Mà tam giác IAD vuông cân ở A => IA2+AD2=ID2.

 ∆IAB vuông cân ở I

=> ID=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2} => IA2+AD2=\frac{a^{2}}{4} => tan2α+tan2 β=1 (đpcm)

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết