Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 65201

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013) Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60^{\circ}. 1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013) Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh

Câu hỏi

Nhận biết

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013)

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60^{\circ}.

1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

2) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC


Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

1) Do SH vuông (ABCD) nên SH là đường cao của hình chóp

Góc giữa SB và (ABCD)  là góc SBH, từ giả thiết ta có \widehat{SBH}=60^{\circ}

Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là S_{ABCD}=a^{2}

Xét tam giác AHB vuông tại A, theo định lí Pitago ta có

HB=\sqrt{AB^{2}+AH^{2}}=\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}

Xét  \Delta SHB vuông tại H có SH=HB.tan\widehat{SBH}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{15}}{2}

 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}6{}

2) Vì SH vuông (ABCD) => SH vuông HC nên tam giác SHC vuông tại H

Ta lại có HD vuông DC suy ra SD vuông DC do đó \Delta SDC vuông tại D. Gọi O là trung điểm của SC thì OS=OC=OH=OD.

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC, bán kính mặt cầu R=\frac{SC}{2}

Vì SH vuông (ABCD) mà HB=HC nên SB=SC

Xét \Delta SHB vuông tại H có SB=\frac{HB}{cos60^{\circ}}=2.\frac{a\sqrt{5}}{2}=a\sqrt{5}=SC

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R=\frac{a\sqrt{5}}{2}

R=\frac{a\sqrt{5}}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết