Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 62787

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = \dpi{100} a\sqrt{3}. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của AI, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{0}. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB, AC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = . Gọi I là trung điểm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = \dpi{100} a\sqrt{3}. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của AI, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{0}. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB, AC.


A.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8};  cos (AC,SB)= \dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
B.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; cos (AC,SB) = -\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
C.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{8}; cos (AC,SB)= \dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
D.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{8}; cos (AC,SB) = -\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

- Tính thể tích của S.ABC

Có \dpi{100} S_{ABC}= \frac{1}{2}.AB.AC = \dpi{100} \frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}= \dpi{100} \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

Có AI = \dpi{100} \frac{1}{2}.BC = \dpi{100} \frac{1}{2}.\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}= a

=> AB = AI = BI = a => tam giác ABI đều cạnh a

Xét tam giác vuông AHK vuông tại K

có góc A = \dpi{100} 60^{0}

AH = \dpi{100} \frac{1}{2}AI= \frac{a}{2}

sin60 = \dpi{100} \frac{HK}{AH}

=> HK = \dpi{100} \frac{a}{2}. sin \dpi{100} 60^{0}

=> Hk = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{4}

Xét tam giác SHK vuông tại H

tan\dpi{100} 60^{0} = \dpi{100} \frac{SH}{HK}

=> SH = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{4}. \dpi{100} \sqrt{3} = \dpi{100} \frac{3a}{4}

=> \dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}

- Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB và AC

Kẻ BD song song và bằng AC

=>Góc (AC,SB) = góc (SB,BD)

Có BD = AC = \dpi{100} a\sqrt{3}

Xét tam giác vuông SHB

có SH = \dpi{100} \frac{3a}{4}; BH = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}

=> SB = \dpi{100} \sqrt{SH^{2}+BH^{2}}= \frac{a\sqrt{21}}{4}

Xét tam giác BHD có  BH = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}; BD = \dpi{100} a\sqrt{3}; \dpi{100} \widehat{HBD}= 120^{0}

\dpi{100} HD^{2}= BH^{2}+BD^{2}- 2BH.BD.cos120= \frac{21a^{2}}{4} 

=> \dpi{100} HD= \frac{a\sqrt{21}}{2}

\dpi{100} SD = \sqrt{SH^{2}+HD^{2}}= \frac{a\sqrt{93}}{4}

Xét tam giác SBD có:

cos SBD= \dpi{100} \frac{SB^{2}+BD^{2}-SD^{2}}{2SB.BD}=-\frac{\sqrt{7}}{7}

=> cos (AC,SB) = cos ( SB,BD) = \dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết