Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 6037

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| =√5,

Câu hỏi

Nhận biết

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.


A.
|z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i
B.
|z| lớn nhất bằng √5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng \frac{1}{\sqrt{5}} <=> z = 1+2i
C.
|z| lớn nhất bằng 2√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i
D.
|z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1-2i
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo giả thiết

|z – 2 – 4i| = √5 <=>|(x - 2) + (y - 4)i| = √5

<=> (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 (C)        (1)

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z => M ∈ (C)

Khi đó |z|= OM = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Cho cát tuyến OAB của (C) và tiếp tuyến OT.

Ta có:

    OA.OB = OT2 = const => OA = \frac{OT^{^{2}}}{OB};

OA nhỏ nhất <=> OB lớn nhất <=> OB đi qua tâm I của (C).

Do vậy |z| lớn nhất khi M ≡ B; |z| nhỏ nhất khi M ≡ A.

Gọi d là đường thẳng đi qua O; I có \overrightarrow{OI}=(2;4) chọn vectơ pháp tuyến của (OI) là (2; -1), khi đó phương trình (OI): 2x - y = 0.

Giao điểm của OI và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

  \left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5 \end{matrix}\right. <=> \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1\\y=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=3\\y=6 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}

Gọi A(1;2) => \overrightarrow{OA}=(1;2) => OA= √5; B(3; 6)

=> \overrightarrow{OB}=(3;6) => OB = 3√5.

Vậy |z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i;

|z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết