Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5424

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:                 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \right )

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: &

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:                 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \right )


A.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski
B.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski và Co- si
C.
Áp dụng bất đẳng thức Co-si
D.
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình điều hòa AM - HM
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo bất đẳng thức Co-si với hai số dương a, b ta có:

             a + b ≥ 2\sqrt{ab}; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =>(a+b)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right ) ≥ 4

             => \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}.

Áp dụng:

               \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} ; \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{4}{y+z}; \frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{4}{z+x};

Cộng các vế tương ứng và rút gọn ta có:

               \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}    (1)

Lại áp dụng tương tự ta có:

               \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{2}{x+2y+z}+\frac{2}{y+2z+x}+\frac{2}{z+2x+y}=\frac{2}{1+x}+\frac{2}{1+y} +\frac{2}{1+z}     (2)

(Do x + y + z = 1)

Từ (1) và (2) => đpcm

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết