Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5170

Trong không gian với hệ tọa độ  Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường thẳng dk : \frac{x-3}{k+1} = \frac{y+1}{2k+3} = \frac{z+1}{1-k}, trong đó k là tham số  ( k  ≠ ± 1; \frac{-3}{2} ). Chứng minh rằng họ đường thẳng dk luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ  Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường thẳng dk : \frac{x-3}{k+1} = \frac{y+1}{2k+3} = \frac{z+1}{1-k}, trong đó k là tham số  ( k  ≠ ± 1; \frac{-3}{2} ). Chứng minh rằng họ đường thẳng dk luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.


A.
(P) có phương trình – 5x + 2y + z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
B.
(P) có phương trình – 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
C.
(P) có phương trình  5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
D.
(P) có phương trình – 5x - 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Giả sử mặt phẳng cố định (P) luôn chứa dk với mọi k có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, |A| + |B| + |C| ≠ 0.

Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là :\overrightarrow{n_{P}} = (A;B;C).

Điều kiện cần để dk ⊂ (P), ∀k là: \overrightarrow{u_{d_{k}}} ⊥ \overrightarrow{n_{P}} ⇔ \overrightarrow{u_{d_{k}}} .\overrightarrow{n_{P}} = 0 , ∀k (7)

(dk) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{d_{k}}} = ( k + 1; 2k + 3; 1 – k)

(7) ⇔ A(k + 1) + B(2k + 3) + C(1 – k) = 0; ∀k

⇔ (A + 2B – C)k + A + 3B + C = 0; ∀k

⇔ \left\{\begin{matrix}A+3B+C=0\\A+2B-C=0\end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix}A+C=-3B\\A-C=-2B\end{matrix}\right.  ⇔ \left\{\begin{matrix}A=-\frac{5}{2}B\\C=-\frac{B}{2}\end{matrix}\right.

Thay A, C vào phương trình mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D   = 0 => - \frac{5}{2}Bx + By -\frac{Bz}{2} + D = 0 (*)

Để dk ⊂ (P) ta phải có: M(3;-1;-1), là một điểm trên dk, phải thuộc (P) hay

- \frac{5B}{2} . 3 – B + \frac{B}{2} + D = 0 => D=8B

Vậy phương trình của (P): - \frac{5}{2}Bx + By - \frac{Bz}{2} + 8B = 0 ⇔ - 5x + 2y – z + 16 = 0

Kết luận: (P) có phương trình – 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k. Trường hợp k = -1, k= 1,  k = - \frac{3}{2} cũng có dk thuộc (P).

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết