Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5119

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: D1: \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+t\\z=2-t\end{matrix}\right. Và D2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 3y – z – 7 = 0, (Q): 3x + 3y – 2z -17 = 0. Cho A, B chạy trên D1; C, D chạy trên D2 sao cho AB = 5cm, CD = 7cm. Tính thể tích của tứ diện ABCD.  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: D1:

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: D1: \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+t\\z=2-t\end{matrix}\right. Và D2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 3y – z – 7 = 0, (Q): 3x + 3y – 2z -17 = 0. Cho A, B chạy trên D1; C, D chạy trên D2 sao cho AB = 5cm, CD = 7cm. Tính thể tích của tứ diện ABCD.  


A.
VABCD = \frac{250}{3\sqrt{66}}
B.
VABCD = \frac{260}{3\sqrt{66}}
C.
VABCD = \frac{280}{3\sqrt{66}}
D.
VABCD = \frac{270}{3\sqrt{66}}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết D1 là đường thẳng qua M1(1; -1; 2) và có một vectơ chỉ phương là:

\overrightarrow{u_{1}}= (2; 1; -1) => d1: \left\{\begin{matrix}M_{1}(1;-1;2)\\\overrightarrow{u_{1}}=(2;1;-1)\end{matrix}\right.

                                                   

D2 là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta chon một vectơ chỉ phương cho D2 là: k.[ \overrightarrow{n_{(P)}}, \overrightarrow{n_{(Q)}}], \overrightarrow{n_{(P)}} = (0; 3 ; -1); \overrightarrow{n_{(Q)}} = (3;3;-2)

=> [ \overrightarrow{n_{(P)}},  \overrightarrow{n_{(Q)}}] = (-3; -3 ; -9)

Ngoài ra ta chon một điểm M2  thuôc d2 thỏa mãn hệ : \left\{\begin{matrix}3y-z-7=0\\3x+3y-2z-17=0\end{matrix}\right.   =>M2(1;0;-7)

Chọn vectơ chỉ phương cho D2 là:

\overrightarrow{u_{2}} =  \frac{-1}{3}[ \overrightarrow{n_{(P)}},  \overrightarrow{n_{(Q)}}  ] = ( 1;1;3) => D2 : \left\{\begin{matrix}M_{2}(1;0;-7)\\\overrightarrow{u_{2}}=(1;1;3)\end{matrix}\right.

Để tính thể tích của ABCD trước hết ta nhận xét như sau:

VABCD = \frac{1}{6}AB.CD.d( AB, CD).sin( \widehat{AB,CD} )

Mọi tứ diện ABCD đều có thể tích tính theo công thức được xây dựng như sau: Ta kẻ qua C đường thẳng song song với AB lấy trên đó điểm A1 sao cho AA1CB là hình bình hành ( để có CA1 // = AB; BC//=AA1).

BC//= AA1 => AA1 //(BCD)=>d(A,(BCD)) = d(A1,(BCD))

 => VABCD = \frac{1}{3}S∆ABC.d A,(BCD))

                = \frac{1}{3}S∆BCD. d(A1,(BCD)) = VA1.BCD = VB.A1CD

                = \frac{1}{3}S∆A1CD .d(B,(A1CD))

S∆ACD = \frac{1}{2}A1C.Cdsin = \frac{1}{2}AB.CDsin(AB,CD)

Do AB = A1C; (A1C,CD) = (AB,CD) AB, CD là hai đường thẳng chéo nhau.

CA1 //= AB => AB//=(CDA)

=>d(AB,(A’CD)) = d(AB,CD) = d(B,(A’CD))

=> VABCD = VB.A1CD = VA1.BCD = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} AB.CDsin(AB,CD). d(AB,CD)

=> VABCD = \frac{1}{6}AB.CDsin(AB,CD). d(AB,CD)   (*)

Áp dụng (*) cho bài tập đang xét với AB =5cm; CD = 7cm và chú ý rằng:

cos(AB,CD)= cos(D1, D2) = |cos(\overrightarrow{u_{1}} ,\overrightarrow{u_{2}} )|

= \frac{|\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}|}}{|\overrightarrow{u_{1}|}|\overrightarrow{u_{2}|}}.\frac{|2.1+1.1+3.(-1)}{\sqrt{2^{2}+1^{1}+1^{2}}\sqrt{3^{2}+1^{2}+1^{1}}} = 0

cos(AB,CD)= 0 => sin(AB,CD) = 1

d(AB,CD) = d(D1, D2) = \frac{|[\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}].\overrightarrow{M_{1}M_{2}}|}{|[\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}]|} = \frac{16}{\sqrt{66}}

VABCD = \frac{1}{6}.5.7.1.\frac{16}{\sqrt{66}} = \frac{280}{3\sqrt{66}}.

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết