Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 43934

Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2 – x3 )n biết rằng:  C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + (-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n = \frac{1}{13}

Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2 – x3 )n biết rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2 – x3 )n

biết rằng:  C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + (-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n = \frac{1}{13}


A.
76.211
B.
76.212
C.
7.211
D.
6.211
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo khai triển nhị thức Niuton ta có

(1 + x)n = C_n^0 + C_n^1x+ C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n

Lấy tích phân 2 vế với cận từ -1 đến 0 ta được

\int_{-1}^{0} (1 + x)ndx= \int_{-1}^{0}(C_n^0 + C_n^1x+ C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n)dx

=> \frac{(1 + x)^{n + 1}}{n + 1}\left | \begin{matrix} 0 & \\ -1 & \end{matrix} = (C_n^0 + C_n^1\frac{x^2}{2} + C_n^2\frac{x^3}{3} + ... + C_n^n\frac{x^{n + 1}}{n + 1})\left | \begin{matrix} 0 & \\ -1 & \end{matrix}

=> \frac{1}{n + 1} = C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ...+ (-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n = \frac{1}{13}

=> n = 12

Ta có (2 + 2x – x2 – x3 )12 = (1 + x )12 (2 – x2)12 do đó số hạng tổng quát của khai triển là:

 C_{12}^k.x^kC_{12}^l.2^{12 - l}(-x^2)^l = C_{12}^k.C_{12}^l.2^{12 - l}(-1)^l. x^{k + 2l}

với k, l là các số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k, l ≤ 12

Để có x3 thì k + 2l  =3, từ đó ta tìm được k = 3, l = 0 hoặc k = l = 1

Do đó hệ số của x3 là: C_{12}^3.C_{12}^0.2^{12} - C_{12}^1.C_{12}^1.2^{11} = 76.211

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết