Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43913

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, SA = \frac{a\sqrt{21}}{6}, SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mp (SBC) theo a.

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, biết góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 600, SA = \frac{a\sqrt{21}}{6}, SC < HC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mp (SBC) theo a.


A.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}
B.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{5}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}
C.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{5a}{8}
D.
V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{7}}{24}; d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

∆SAC cân tại S và ∆ABC đều có H là trung điểm AB\perp nên SH \perpAB, CH \perpAB => AB \perp(SHC) mà AB= (SAB) \cap(ABC) nên góc giữa (SAB) và (ABC) bằng góc giữa SH và CH do CH > SC nên \widehat{SHC} nhọn => \widehat{SHC}=600

Thể tích S.ABC là:

 VS.ABC = VS.ACH + VS.BCH=\frac{AH.S_{\Delta SCH}}{3}+\frac{BH.S_{\Delta SCH}}{3}=\frac{AB.S_{\Delta SCH}}{3}

∆ABC đều cạnh a có đường cao là:

CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\frac{21a^{2} }{36}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}

Diện tích ∆SHC là:

S_{\Delta SHC}=\frac{1}{2}SH.CH.sin\widehat{SHC}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}sin60^e_0=\frac{a^e_2\sqrt{3}}{8}

\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{a^e_3\sqrt{3}}{24}

H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của ∆ABC => HK//BC

\Rightarrow HK//(SBC) nên d(HK, (SBC))= \frac{3.V_{S.HBC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{3.V_{S.ABC}}{S_{\Delta SBC}}

Theo định lý cô sin trong tam giác SHC có:

SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}-2.SH.CH.cos60^{0}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}

Nên ∆SBC cân tại S. gọi I là trung điểm BC

\Rightarrow SI=\sqrt{SC^{2}-CI^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}SI.BC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}\Rightarrow d(HK,(SBC))=\frac{3a}{8}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết