Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43551

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, tam gíac SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, SA. Chứng minh rằng (SIJ)  ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp K.IBCD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, tam gíac SAB đều, tam giác SCD

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, tam gíac SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, SA. Chứng minh rằng (SIJ)  ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp K.IBCD.


A.
VK.IBCD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}
B.
VK.IBCD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{32}
C.
VK.IBCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}
D.
VK.IBCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{32}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: AB ⊥ SI, AB ⊥ IJ => AB ⊥ (SIJ) => (SIJ) ⊥ (ABCD).

SI = \frac{a\sqrt{3}}{2}; IJ = a, SJ = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2} .

Ta có SI2 + SJ2 = IJ2 => ∆SIJ vuông tại S .

+Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ SH ⊥ IJ

=> SH ⊥ (ABCD) .

+ Trong tam giác vuông SIJ có  

\frac{1}{SH^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} + \frac{1}{SJ^{2}} = \frac{4}{3a^{2}}+\frac{4}{a^{2}} = \frac{16}{3a^{2}} => SH = \frac{a\sqrt{3}}{4} .

Gọi h là khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) .

Ta có h = \frac{1}{2}SH = \frac{a\sqrt{3}}{8} .

SIBCD = \frac{1}{2}(IB + CD).BC = \frac{1}{2} (\frac{a}{2} + a).a = \frac{3a^{2}}{4}

VK.IBCD = \frac{1}{3}h.SIBCD = \frac{1}{3}. \frac{a\sqrt{3}}{8}.\frac{3a^{2}}{4}

= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{32} (đvtt) .

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết