Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43030

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.


A.
V = \frac{38\sqrt{3}a^3}{81} và R = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
B.
V = \frac{38\sqrt{3}a^3}{82} và R = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
C.
V = \frac{40\sqrt{3}a^3}{81} và R = \frac{2a}{3}
D.
V = \frac{38\sqrt{2}a^3}{81} và R = \frac{2a}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H  = BD ∩ AC, AB = a√2 => BD = a√2.√2 = 2a

G là trọng tân tam giác.

Vì (P) // (ABCD) => B'D' // BD

Và A'B'C'D' là hình vuông => \frac{B'D'}{BD} = \frac{SG}{SH} = \frac{2}{3}

=> B'D' = \frac{2}{3}BD = \frac{4a}{3}

=> A'B' = A'D' = \frac{B'D'}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}a. (do A'B'C'D' là hình vuông nên tam giác A'B'D' vuông cân tại A')

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABCD)

=> góc giữa SA và (ABCD) là \widehat{SAH} = 60o

Trong tam giác vuông ABD có AH = \frac{1}{2}BD = a

Xét tam giác SAH vuông tại H: SH = HA. tan600 = a√3 => SA = 2a

Ta có VS.ABCD = \frac{1}{3}. SH. SABCD = \frac{1}{3}. a√3. a√2. a√2 = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}

Ta có SG = \frac{2}{3}SH = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

VS.A'B'C'D' = \frac{1}{3}. SG. SA'B'C'D' = \frac{1}{3}. \frac{2a\sqrt{3}}{3}. \frac{2\sqrt{2}}{3}a. \frac{2\sqrt{2}}{3}a = \frac{16\sqrt{3}a^3}{81}

VABCD.A'B'C'D' = VS.ABCD - VS.A'B'C'D' = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3} - \frac{16\sqrt{3}a^3}{81} = \frac{38\sqrt{3}a^3}{81}

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Suy ra O ∈ SH => O ∈ (SBD) suy ra R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD mà SB = SD = BD = 2a

Suy ra tam giác SBD đều nên R = \frac{2a}{2sin60^{o}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết