Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41888

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a. \widehat{BAD} = 900, \widehat{A'AB} = \widehat{A'AD} = 600. Tính thể tích khối tứ diện A'ABD và khoảng cách giữa AC và B'C'.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a.  = 900,  =  = 600.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a. \widehat{BAD} = 900, \widehat{A'AB} = \widehat{A'AD} = 600. Tính thể tích khối tứ diện A'ABD và khoảng cách giữa AC và B'C'.


A.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{3}  và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12} 
B.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2}  và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
C.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2}  và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}
D.
d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2} và VA’.ABD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính thể tích khối tứ diện A'ABD

Ta có ABA' và ADA' là các tam giác đều nên A'B = A'D = a

Trong tam giác ABD vuông tại A có BD = a√2

Vì A’B2 + A’D2 = BD2 nên A'BD là tam giác vuông tại A'. Gọi O là trung điểm BD

Ta có OB = OD = OA' = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2} và AB = AD = AA' = a nên AO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác A'BD, suy ra AO ⊥ (A'BD).

Ta có AO = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}. Tính SA’BD = \frac{1}{2}A'B.A'D = \frac{1}{2}a2

Tính thể tích khối chóp: VA’.ABD = VA.A’BD = \frac{1}{3}AO.SA’BD = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}.

Tính d(AC; B'D')

Ta có AC và B'C' chéo nhau. AC ⊂ (ABCD);

B'C' ⊂ (A'B'C'D') và (ABCD) // (A'B'C'D')

Do đó d(AC; B'C') = d((ABCD); (A'B'C'D')) = d(A'; (ABCD))

Tính d(A'; (ABD)) = \frac{3V_{AA'BD}}{S_{ABD}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}

(Hoặc CM: A'O ⊥ (ABCD) => d(A'; (ABD)) = A'O = \frac{a\sqrt{2}}{2})

Vậy d(AC; B'D') = \frac{a\sqrt{2}}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết