Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41739

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)} 

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)} 


A.
minP = -24
B.
minP = -9
C.
minP = 9
D.
minP = 24
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

ta áp dụng bất đẳng thức: Với hai số x; y bất kì ta có

(x + y)2 ≥ 4xy. Dấu bằng xảy ra <=> x = y

Ta có

(1 + a)2 (1 + b)2 = [(1 + a)(1 + b)]2 = [(1 + ab) + (a + b)]2 

≥ 4(1 + ab)(a + b)

 

\frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)} ≥ \frac{4(1 + ab)(a + b)}{(1 + c^2)} 

= \frac{4a(1 + b^2)+ 4b(1 + a^2)}{(1 + c^2)} = 4a\frac{1 + b^2}{1 + c^2} + 4b\frac{1 + a^2}{1 + c^2}

Chứng minh tương tự ta có

 \frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)} ≥ 4b\frac{1 + c^2}{1 + a^2} + 4c\frac{1 + b^2}{1 + a^2}

\frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)}  ≥ 4c\frac{1 + a^2}{1 + b^2} + 4a\frac{1 + c^2}{1 + b^2}

Ta có \frac{1 + b^2}{1 + c^2} + \frac{1 + c^2}{1 + b^2}  ≥ 2

\frac{1 + c^2}{1 + a^2} + \frac{1 + a^2}{1 + c^2} ≥ 2

\frac{1 + a^2}{1 + b^2} + \frac{1 + b^2}{1 + a^2} ≥ 2

=> P ≥ 8(a + b + c) = 24

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết